02-古典概型和几何概型

古典概型和几何概型一、古典概型称随机试验的概率模型为古典概型(或等可能概型)如果其样本空间满足只有有限个样本点(基本事件)每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样设试验的样本空间为Ω{e1,e2,⋯ ,en}\Omega \{e_1, e_2, \cdots, e_n\}Ω{e1​,e2​,⋯,en​}。由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同即有P({e1})P({e2})⋯P({en}) P(\{e_1\}) P(\{e_2\}) \cdots P(\{e_n\})P({e1​})P({e2​})⋯P({en​})又由于基本事件是两两互不相容的。于是1P(Ω)P({e1}∪{e2}∪⋯∪{en})P({e1})P({e2})⋯P({en})nP({ei}) \begin{align} 1 P(\Omega) \\ P(\{e_1\} \cup \{e_2\} \cup \cdots \cup \{e_n\})\\ P(\{e_1\}) P(\{e_2\}) \cdots P(\{e_n\}) \\ nP(\{e_i\}) \\ \end{align}1​P(Ω)P({e1​}∪{e2​}∪⋯∪{en​})P({e1​})P({e2​})⋯P({en​})nP({ei​})​​于是P({ei})1n,i1,2,⋯ ,n.P(\{e_i\}) \frac{1}{n}, \quad i 1, 2, \cdots, n.P({ei​})n1​,i1,2,⋯,n.若事件AAA包含kkk个基本事件即A{ei1}∪{ei2}∪⋯∪{eik}A \{e_{i_1}\} \cup \{e_{i_2}\} \cup \cdots \cup \{e_{i_k}\}A{ei1​​}∪{ei2​​}∪⋯∪{eik​​}这里i1,i2,⋯ ,iki_1, i_2, \cdots, i_ki1​,i2​,⋯,ik​是1,2,⋯ ,n1, 2, \cdots, n1,2,⋯,n中某kkk个不同的数。则有P(A)∑j1kP({eij})knA 包含的基本事件数Ω 中基本事件的总数.(1.1) P(A) \sum_{j1}^k P(\{e_{i_j}\}) \frac{k}{n} \frac{A \text{ 包含的基本事件数}}{\Omega \text{ 中基本事件的总数}}. \tag{1.1}P(A)j1∑k​P({eij​​})nk​Ω中基本事件的总数A包含的基本事件数​.(1.1)式(1.1)计算出来的概率被称为事件AAA的古典概率1.1 基本事件数的计算方法列举法直接数数法基本事件数不多时常用这种方法。集合对应法加法原理——完成一件事有nnn类办法第一类办法中有m1m_1m1​种方法第二类办法中有m2m_2m2​种方法……第nnn类办法中有mnm_nmn​种方法则完成此事共有∑i1nmi\sum_{i1}^n m_i∑i1n​mi​种方法。乘法原理——完成一件事有nnn个步骤。第一步有m1m_1m1​种方法第二步有m2m_2m2​种方法……第nnn步有mnm_nmn​种方法则完成此事共有∏i1nmi\displaystyle \prod_{i1}^n m_ii1∏n​mi​种方法。排列——从nnn个不同的元素中取出mmmm≤nm \leq nm≤n个元素并按照一定顺序排成一列叫作排列。所有排列的个数叫作排列数记作Pnmn(n−1)(n−2)⋯(n−m1)n!(n−m)!.P_n^m n(n-1)(n-2)\cdots(n-m1) \frac{n!}{(n-m)!}.Pnm​n(n−1)(n−2)⋯(n−m1)(n−m)!n!​.当mnm nmn时Pnnn!P_n^n n!Pnn​n!叫作全排列。组合——从nnn个不同的元素中取出mmmm≤nm \leq nm≤n个元素并成一组叫作组合。所有组合的个数叫作组合数记作CnmPnmm!.\displaystyle C_n^m \frac{P_n^m}{m!}.Cnm​m!Pnm​​.逆数法先求A‾\overline{A}A中的基本事件数nA‾n_{\overline{A}}nA​将基本事件总数nnn减去nA‾n_{\overline{A}}nA​便得AAA中的基本事件数这种方法常用于计算含有“至少”字样的事件的概率。1.2 经典问题类型1. 根据定义求概率2.随机分配问题描述为 将nnn个可辨质点随机分配到NNN个盒子中根据每盒可以容纳的质点数列表如下分配方式不同分法的总数每盒可以容纳多个质点NnN^nNn每盒可以容纳至多一个质点PnNN⋅(N−1)⋅ ... ⋅(N−n1)P_n^N N\cdot (N-1) \cdot \, ... \, \cdot (N- n 1)PnN​N⋅(N−1)⋅...⋅(N−n1)3. 随机抽样问题设Ω{ω1,ω2,⋯ ,ωN}\Omega \{ \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N \}Ω{ω1​,ω2​,⋯,ωN​}含NNN个元素称Ω\OmegaΩ为总体。如果各元素被抽到的可能性相同且总体Ω\OmegaΩ的抽样称作简单随机抽样。简单随机抽样分为先后有放回、先后无放回及任取这三种不同的方式。在每种抽样方式下各种不同抽法基本事件的总数列表如下。抽取方式抽法总数先后有放回取nnn次NnN^nNn先后无放回取nnn次PNnN(N−1)⋯(N−n1)\displaystyle P_N^n N(N-1)\cdots(N-n1)PNn​N(N−1)⋯(N−n1)任取nnn个CNn\displaystyle C_N^nCNn​只要事件的结果与抽取顺序无关即只关心取到了哪些球先后无放回取 k 个和一次性任取 k 个就能等价计算概率。例如袋中有100个球,40个黑球,60个白球先后无放回取20个球求取出15个白球5个黑球的概率任取20个球求取出15个白球5个黑球的概率在无放回抽样且无额外信息的情况下(通常被称为抓阄模型比如规范的抽签)每一次抽取的机会均等也就“等价于”有放回抽样二、几何概型如果随机试验的样本空间满足样本空间Ω\OmegaΩ是一个可度量的有界区域每个样本点ω\omegaω发生的可能性都一样即样本点落入Ω\OmegaΩ的某一可度量的子区域SSS的可能性大小与SSS的几何度量成正比而与SSS的形状和位置无关.则称随机试验的概率模型为几何概型