16、磁场、毕萨定律、高斯磁场定律

1.历史人们早就发现自然界存在磁石中国拿它来制造司南等指南针器具。1600年英国科学家威廉⋅\cdot⋅吉尔伯特出版《论磁》首次将地球本身视为一个巨大磁体解释了磁针指向南北的原因。1820年丹麦物理学家奥斯特在一次讲座中演示当导线通电时旁边的小磁针发生了偏转。这一发现首次揭示了电与磁之间存在联系也即运动电荷产生磁场。2.毕奥-萨伐尔定律电流怎样激发磁场2.1定律的建立1820年毕奥与萨伐尔以长直载流导线为对象测量小磁针振荡周期的变化得出两个关键结论磁作用力与导线电流III成正比磁作用力与磁针到导线的垂直距离rrr成反比拉普拉斯由此假定任意载流回路的磁场可视为无数微小电流元IdlId\bm{l}Idl所产生的磁场矢量和并逆推出单个电流元的磁场公式–毕奥-萨伐尔定律。它属于实验定律。2.2 定律的数学形式电流元IdlId\bm{l}Idl在空间点PPP产生的磁感应强度微元为dBμ04πIdl×r^r2\boxed{ d\bm{B}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bm{l}\times \hat{\bm{r}}}{r^2} }dB4πμ0​​r2Idl×r^​​其中r^\hat{\bm{r}}r^是从电流元指向PPP的单位矢量rrr为距离μ04π×10−7N/A2\mu_04\pi\times10^{-7}N/A^2μ0​4π×10−7N/A2为真空磁导率任意载流导线产生的总磁场由其积分得到dBμ04π∫Idl×r^r2\boxed{ d\bm{B}\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{Id\bm{l}\times \hat{\bm{r}}}{r^2} }dB4πμ0​​∫r2Idl×r^​​对于以速度vvv运动的点电荷qqq利用Idl→qvId\bm{l}\to qvIdl→qv可得dBμ04πqv×r^r2\boxed{ d\bm{B}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\bm{v}\times \hat{\bm{r}}}{r^2} }dB4πμ0​​r2qv×r^​​3.高斯磁场定律高斯在发现高斯电场定律以后就开始着手研究类似的磁场定律。与电场不同电场是有单独的正电荷和负电荷因此可以变成有源场或有汇场。但是磁场不存在单独的南极和北极因此磁场总是形成了闭合回路。因此计算其闭合曲面的通量总是0。3.1积分形式∮SB⋅dA0\boxed{ \oint_S\bm{B}\cdot d\bm{A}0 }∮S​B⋅dA0​有进有出正负相抵其符号为SSS为任意闭合曲面dAd\bm{A}dA为外法向面元矢量3.2微分形式微分形式就是我们看其中一个极小的点它也应是无源无汇的。利用高斯散度定理∮SB⋅dA∫V(∇⋅B)dV\oint_S \bm{B}\cdot d{\bm{A}}\int_V(\nabla\cdot \bm{B})dV∮S​B⋅dA∫V​(∇⋅B)dV因为∮SB⋅dA0\oint_S\bm{B}\cdot d\bm{A}0∮S​B⋅dA0所以∫V(∇⋅B)dV0\int_V(\nabla\cdot \bm{B})dV0∫V​(∇⋅B)dV0所以∇⋅B0\boxed{ \nabla\cdot \bm{B}0 }∇⋅B0​表明磁场处任意一处是无源无汇的管量场。3.3相量形式时谐场许多工程和物理问题中电磁场随时间按正/余弦规律角频率ω\omegaω变化。此时可将瞬时场表示为复相量实部B(r,t)Re{B~(r)ejωt)} \bm{B}(\bm{r},t)Re\{\tilde{\bm{B}}(\bm{r})e^{j\omega t})\}B(r,t)Re{B~(r)ejωt)}这里B~\tilde{\bm{B}}B~是仅与空间坐标有关的复相量代入微分方程∇⋅B0\nabla\cdot \bm{B}0∇⋅B0得∇⋅Re{B~(r)ejωt)}0 \nabla\cdot Re\{\tilde{\bm{B}}(\bm{r})e^{j\omega t})\}0∇⋅Re{B~(r)ejωt)}0有∇⋅Re{B~(r)ejωt)}Re{(∇⋅B~(r)ejωt}0 \nabla\cdot Re\{\tilde{\bm{B}}(\bm{r})e^{j\omega t})\}Re\{(\nabla\cdot \tilde{\bm{B}}\bm({r})e^{j\omega t}\}0∇⋅Re{B~(r)ejωt)}Re{(∇⋅B~(r)ejωt}0得∇⋅B~0\boxed{ \nabla\cdot \tilde{\bm{B}}0 }∇⋅B~0​3.4物理意义总结无磁单极子高斯磁场定律的右端为零与电场定律∇⋅Eρfε0\nabla \cdot E\frac{\rho_f}{\varepsilon_0}∇⋅Eε0​ρf​​形成鲜明对比。宣告独立磁荷不存在。磁通连续磁场线无始无终进入任意区域必须全部流出基尔霍夫磁路节点定律即源于此。**引入磁矢势**散度为零的场必可表为另一矢量的旋度。即存在A\bm{A}A使B∇×A\bm{B}\nabla \times \bm{A}B∇×A。