控制系统——1:简单控制形式

一、声明本文基于悉尼大学 ELEC3304 Control 课程学习整理仅代表个人理解不包含课程官方材料本文仅用于学习记录和分享任何组织、个人不得用于教材等任何商业形式的利用不得以任何付费形式分享项目、代码、文件等相关内容绝不得以任何形式用于课程作业代码和仿真环境为MATLAB R2026a、Simulink二、前言本文基础参照前置文章我们前文已经有了一个概念我们可以将控制描述为我们先忽略扰动 d(t) 则控制就是——输入与输出的非线性映射关系。假设我们想要的输出是 r(t) 即参考信号reference那么我们的目的就是使或者换成人话来说我们应该怎样输入才能得到我们想要的输出在开始之前我们必须先明确一个概念——我们不可能做到完全预测系统行为。这其中有两个重要的原因1扰动不可预测2我们所有的数学模型都是简化模型不可能对系统完整精确的建模三、求逆控制既然那么很自然的可以想到逆转如果希望输出等于参考那么可以直接得出结论即将参考反向经过系统就能得到我们想要的输入。这就是最早期的控制理论思想。此方法在数学上是完美的误差为零。但实际上呢假设有一个立方体水箱水箱横断面积不变我们通过水管给水箱注水而同时水箱下有一个管道在放水。根据物质守恒原理可以建模为其中 qi 为进水量qo为出水量h为水位高度A为水箱横断面积非常简单。而根据托里拆利定律Torricellis Low出水量为这里的c是某种流体常数这里指的是出水口面积、重力加速度等因素。这里的物理直觉是水位越高出水量越大。假设我们的注水量 μ(t) 是完全受控的即没有其他进水如下雨或者小孩撒尿可以得到我们想控制的是水位高度那么直接可以逆变换为我们想让水位高度等于我们想要的参考高度即 hr那么可以得到观察其中的数学意义可以发现如果我们想要的参考信号是阶跃信号那么输入是无界的——根本不存在能瞬间随意跳变水量的水管。换句话说直接求逆是在要求系统没有惯性这是不可能的。回到我们的水箱系统如果我们需要使输入有界那就需要加一个额外的极点这个极点的意义为允许控制器慢一点输入。或者。这个系统是非线性的不过我们可以在平衡点附近近似为线性模型即水位几乎不变化。此时逆变换模型的线性方程可以解为为此我们定义高度偏差为注水量偏差为并计算偏导数,其中 f 为逆变换公式这里偏导数的物理意义为前者在描述水位变化对水位变化率的影响水位升高出水增加水位下降更快后者在描述进水量变化对水位变化率的影响进水量增加水位增加更快。则总体线性模型可以描述为此泰勒展开式对其做拉普拉斯变换得到将其化为标准传递函数形式得到这是一个一阶系统可以观察到系统稳定不会震荡。时间常数这里讲一下相关基础知识到时间常数的这个时间时系统完成最终变化量的63.2%3被时间时到达95%而4倍时间时系统基本到达目的。对此传递函数做逆变换 (根据) 得到假如此时的参考信号是一个阶跃信号 1/s那么输入的拉式模型为对其做拉式逆变换得到可以看到输入有一个冲击信号 δ(t) 这在现实中是不可能实现的根本不存在无限大的水管。与上述的非线性系统处理方法类似我们可以引入一个额外的快速极点此时的拉式逆变换为总结逆变换方法看似精确但这里存在几个现实中无法解决的“小问题”逆变换要求公式精确但实际上现实中存在无法精确建模的系统逆变换的阶跃式参考信号会产生冲击输入这是物理不可实现的逆变换的扰动必须为0或可测量的但实际上这是工程不现实的逆变换要求初始条件可以忽略不计四、高增益反馈4.1 代数模型的高增益负反馈既然直接求逆要求苛刻我们能不能不显式的求逆而是用反馈结构变相实现求逆的效果呢我们以一个最简单的例子来解释。如图所示我们在最基础的“参考-计算-输入模型-输出”这个流程中加入了一个反馈式的控制器。其中参考信号为r根据参考信号计算出的输入信号为u信号进入模型后输出的结果为η积分器可以不断累积输出可以抵消稳态误差在控制器内K为一个增益P为的反馈模块这个反馈模块是模型Plant的直接复制品。那么这个控制器究竟起到什么样的作用呢我们来计算一下。求和点r-Gu经过增益KKr-Gu经过增益K后就是输入信号u则Kr-Guu计算得出最后经过模型得到最终输出约分一下得到模型的自有性质G是不能改变的但增益K是我们可以决定的。到这里大家都能看出来了当K非常大时输出会无限接近于参考信号。我们什么都没算只是引入了高增益负反馈输入就自动逼近了逆控制器的解。这就是“隐式求逆”。4.2 动态系统的高增益负反馈我们上节用简单的代数模型来建立了直觉。但我们之前的水箱例子是一个动态系统我们必须将系统图稍微修改一下。首先我们的水箱模型的Plant和P应该修改为我们在上一章计算得出的非线性微分方程因此我们将模型建为下图所示那么现在问题来了增益器还能不能是常数答案是不能。假如误差是一个很小的值那么常数乘以很小的值还是一个常数。换句话说误差是一个稳态误差会永远存在。而如果有一个噪声这个常数乘以噪声会导致巨大的控制误差。所以常数是不够的我们需要的是“无穷”——也就是积分器频域当频率趋近于0时增益趋于无穷大。而当频率很高时噪声增益趋于0。这极好的满足我们消除静态误差、抗噪声的需求。太好了我们完成了高增益负反馈的开环动态系统设计。现在我们设定参考是0.5米阶跃到1米我们给系统20秒的时间观察20秒内系统的情况。首先是参考信号。没问题符合我们的要求。接下来看控制信号。哦控制信号在震荡。但这完全在我们的预期之内。我们的简单开环控制系统就是会震荡。这里震荡的原因主要是相位滞后也就是延迟导致的超调。但我们这里不用解决这个问题。重点是我们能从中得到的信息有控制器检测到阶跃信号后尝试向水箱内放水由于积分器的低频特性控制器是逐渐增大的。但这一定会带来相位滞后的后果也就是控制器反应很慢。我们的控制器里面有两个积分器系统里还有一个积分器。三个积分器是延迟叠加的。控制信号并非一个完美的正弦波可以明显观察到哪怕参考信号在0-1秒是恒定为0.5m时控制信号也在震荡是一个幅值较小的正弦波。这是符合直觉的—哪怕目标水位不变水箱也在漏水-进水-超调之间循环。控制器居然有负值这说明我们的水箱控制器不仅能放水还能抽水没绷住。而且之所以不太合常理这是由于那样系统更复杂不利于学习才不是因为我忘加执行器饱和了。那么输出就没什么好说的了。是的由于阶跃设定的太大执行器没加限制我们的水箱简直像个大漩涡......我敢说根本就不存在这样的水箱。不过作为学习肯定是够了想设计更合适的话自己去尝试吧。4.3 开环系统的缺陷我们一直在强调“开环”系统究竟什么是开环呢。简单来说开环指的是整个控制系统对外界完全没有反应。我们可以看到我们以上设计的所有控制系统都是源于参考和系统模型计算出的系统本身静止于世界中完全理想化和独立。那么如果把这样的系统放在真实世界中会发生什么呢现在假设第五秒时有个小孩开始向水箱中一直撒尿。这张图的参考被设定为从零秒开始恒定的0.5米从第五秒开始系统开始偏离完全没有对外界干扰做出任何反应。控制器毫不知情且无能为力。4.4 简单闭环控制抖动、干扰、误差...还记得我们说的吗哪怕是超级计算机也会被小小的误差击败。因为-对一切做计算是复杂度剧升的对一个系统的精准预测需要远超这个系统的另一个更庞大的系统完成计算。说个题外话对一个人的一生做出预测这种事在理想条件下是可行的。但想做到有意义的预测精度必须对全世界做出精确建模。如果想达到逼近100%的准确度那么必须对可观测宇宙进行精确建模。这在计算量上是悖论的——没有比已知宇宙更宏大的计算器。现存的一切预言学的合理部分实际上并非计算预测而是某种统计预测。这些预言学想要达到一定意义上的有价值所需要的参数量远比星座、时间、地点、性别等庞大的多。需要的计算量更是无法想象的。工程师对此的解决方法是不计算了。还记得我们的黑箱思维吗我们完全可以抛弃如此麻烦的方式直接让真实的结果作为反馈。我们来试试现在的输出有没有被控制。参考为一秒后从零跃升为1米天呐如此简单。我们甚至根本不需要知道Plant里面发生了什么反馈回路比原来更简单粗暴但更有效。并且我们还发现了很有意思的现象我们从零开始的震荡不见了这是由于消除了两个互不相干积分产生的极限环。我们的震荡在减弱这说明我们的系统变为了极点全在左半平面的衰减系统。这是由于我们的负反馈起到了阻尼的效果。4.5 简单闭环系统带来的新缺陷天下没有免费的午餐。我们上面设计的控制器实际上是完全信任了终端的传感器相信它完全准确、绝不出错。但真实的传感器不是这样的。假设我们的传感器由于旁边有人玩手机出现了尖峰脉冲噪声会发生什么老天爷传感器的错误把一切都毁了。我们的积分器被传感器的干扰骗了它对尖峰脉冲如此敏感反馈的阻尼作用根本抵消不了这种误差。并且我们从来没有解决过自激振荡这个问题。五、开关控制我们以上的控制思想全都是高增益。但高增益明显存在无法解决的问题。且现实中很多东西根本没有高增益。例如家里的空调你很难找到一个空调的功率是航空发动机级别的。于是引入了最简单最原始最朴素的控制方式-开关控制。本章节非常贴近生活就不做模拟了累了。现在我们来想象一下。假设要对空调制冷系统做控制最简单的方法就是温度高了就开启制冷温度低了就关闭制冷。外界温度影响下整体会稳定在设定温度周围。但大家有没有想过假设传感器十分灵敏制冷器也十分迅猛。那么控制器的开关就会变成高频方波。执行器会瞬间烧毁。这显然是不现实的。于是典型的开关控制器都会设计阈值。当高于高阈值时开启或关闭低于低阈值时关闭或开启。这实际上是用空间换时间的权衡。那么问题又来了传感器并非全能。假设传感器在远离空调的地方当传感器周围温度变化时空调周围的温度早就过调了。这时控制器会出现剧烈的低频震荡甚至完全失控。这就是时延——真实系统中最难以解决的问题之一。简单控制系统中通常设计为考虑到时延的影响保守的控制也就是迟滞。这就是你家空调房里面温度明显在缓慢波动的原因。六、人工智能 声明及个人声明我声明我使用了人工智能Deep seek帮助理解、搜索信息。本躯水平有限恳请斧正七、参考老师Prof Daniel Quevedo,USYD部分参考University of Sydney - course ELEC3304 ELEC9304 Control