codeforces-go 实战解析 LeetCode 2087：网格中机器人回家的最小代价与贪心分解

科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载本篇基于 codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府仓库中的题解文档 leetcode/biweekly/66/c/2087.md围绕力扣双周赛 66 的 C 题「网格中机器人的最小代价回家」LeetCode 2087展开。文章会完整继承原题解的贪心论证、代价计算公式与多语言实现并结合仓库中的 Go 实现 leetcode/biweekly/66/c/c.go、测试文件 leetcode/biweekly/66/c/c_test.go 以及测试框架 leetcode/testutil/leetcode.go讲清从“脑筋急转弯”式观察、到区间求和统一写法、再到本地可运行验证的完整链路。读完后你将掌握为什么非负代价下“径直走”必最优、如何用一个 min/max 区间求和公式消除分情况讨论以及如何用该仓库的测试脚手架在本地跑通并核验解法。题目背景与关键约束题目设定一个机器人站在 $m \times n$ 网格的起点 $(x_0, y_0)$需要回到“家” $(x_1, y_1)$。每次只能上下左右走一步且每一步的代价只取决于移动方向垂直方向上/下代价由所进入的行决定记在数组rowCosts中rowCosts[i]是第 $i$ 行的代价水平方向左/右代价由所进入的列决定记在数组colCosts中colCosts[j]是第 $j$ 列的代价。输入参数即startPos、homePos两个[x, y]、rowCosts、colCosts四个数组要求输出回家路径的最小总代价。题解中点明的关键约束是题目保证所有代价均为非负数。这一条看似不起眼的保证正是整道题“脑筋急转弯”性质的来源。核心思路为什么“径直走”必然最优原题解见 2087.md开篇即给出结论由于题目保证代价均为非负数所以除了径直走以外其它弯弯绕绕的策略都不可能更优直接统计径直走的代价即可。其论证逻辑可以这样理解任何可行路径在垂直方向上必须完成净位移$|x_0 - x_1|$ 步上/下合计水平方向必须完成净位移 $|y_0 - y_1|$ 步。非负代价意味着“多走一步”只会让总代价不变或变大绝不会变小。绕路例如先向下再向上或左右横跳等价于在必须完成的净位移之外额外插入“往返步”这些步的代价 $\ge 0$因此任何绕路方案 $S$ 的代价 $\ge$ 完成同样净位移的最短走法的代价。进一步在“径直走”的多种走法先横后竖、先竖后横、穿插进行之间由于行代价只与“进入过哪些行”有关、列代价只与“进入过哪些列”有关与走法的顺序无关所以所有径直走法的代价完全相同。由此问题从“在指数级路径中搜索最短路”坍缩为“计算一条固定径直路径的代价”这正是题解将其归入贪心与思维题单「§5.2 脑筋急转弯」的原因。代价的计算公式设起点 $(x_0, y_0)$、终点 $(x_1, y_1)$总代价 上下移动代价 左右移动代价上下移动的代价若 $x_0 x_1$从起点到终点必须依次访问 $x_01, x_02, \ldots, x_1$ 这些行代价为rowCosts的子数组 $[x_01,\ x_1]$ 的元素和若 $x_0 x_1$代价为rowCosts的子数组 $[x_1,\ x_0-1]$ 的元素和。左右移动的代价若 $y_0 y_1$必须访问 $y_01, y_02, \ldots, y_1$ 这些列代价为colCosts的子数组 $[y_01,\ y_1]$ 的元素和若 $y_0 y_1$代价为colCosts的子数组 $[y_1,\ y_0-1]$ 的元素和。注意这里的细节起点所在行/列的代价不计入——机器人“已经站在”起点从未“进入”过它。用 min/max 区间求和消除分情况讨论题解给出了一个非常优雅的工程化技巧不必真的按 $x_0$ 与 $x_1$ 的大小关系分情况讨论而是直接对闭区间$[\min(x_0,x_1),\ \max(x_0,x_1)]$ 求和再减去多算的起点代价rowCosts[x0]。列方向同理。于是统一公式为$$ \text{ans} -\textit{rowCosts}[x_0] - \textit{colCosts}[y_0] \sum_{i\min(x_0,x_1)}^{\max(x_0,x_1)} \textit{rowCosts}[i] \sum_{j\min(y_0,y_1)}^{\max(y_0,y_1)} \textit{colCosts}[j] $$这个写法的正确性来自两点闭区间求和恰好覆盖了“起点与终点之间所有必须经过的行/列含起点自身”而起点代价本不该计入所以先行减去rowCosts[x0]与colCosts[y0]。当起点恰好等于终点时区间收缩为单点一加一减相互抵消天然得到 0无需额外判断。多语言实现与仓库中的 Go 版本原题解附有 Python3、Java、C、C、Go、JavaScript、Rust 共 7 种语言的实现全部采用同一套“先减起点代价、再对 min/max 闭区间累加”的骨架。以 Python 版为例摘自 2087.mdclass Solution: def minCost(self, startPos: List[int], homePos: List[int], rowCosts: List[int], colCosts: List[int]) - int: x0, y0 startPos x1, y1 homePos # 起点的代价不计入先减去 ans -rowCosts[x0] - colCosts[y0] # 累加代价包含起点 ans sum(rowCosts[min(x0, x1): max(x0, x1) 1]) ans sum(colCosts[min(y0, y1): max(y0, y1) 1]) return ans各语言对该骨架的实现方式略有差异Python 与 JavaScript 直接对切片求和Java/C 用Math.min/max或宏定出循环上下界后逐元素累加C 用reduce对迭代器区间求和Rust 则利用min/max方法与含闭区间切片x0.min(x1)..x0.max(x1)配合iter().sum()完成。本仓库Go 语言模板库收录的是 Go 版本完整实现见 leetcode/biweekly/66/c/c.gopackage main // github.com/EndlessCheng/codeforces-go func minCost(startPos, homePos, rowCosts, colCosts []int) int { x0, y0 : startPos[0], startPos[1] x1, y1 : homePos[0], homePos[1] // 起点的代价不计入先减去 ans : -rowCosts[x0] - colCosts[y0] // 累加代价包含起点 for _, cost : range rowCosts[min(x0, x1) : max(x0, x1)1] { ans cost } for _, cost : range colCosts[min(y0, y1) : max(y0, y1)1] { ans cost } return ans }从源码结构看这里有两个值得注意的工程细节min/max是 Go 1.21 起的内置函数。仓库 go.mod 声明了go 1.23与模块名github.com/EndlessCheng/codeforces-go因此在本地以本仓库为模块运行测试时可以直接使用这两个内置函数无需像老版本 Go 代码那样自行定义辅助函数。用切片遍历代替索引循环。for _, cost : range rowCosts[min(x0, x1) : max(x0, x1)1]利用 Go 切片天然表达“闭区间 $[l, r]$”右端点max1越界截取比手写for i : l; i r; i更简洁也降低了 off-by-one 出错的可能。测试用例与本地验证仓库为每道力扣题都配有自动生成风格的测试文件。本题测试见 leetcode/biweekly/66/c/c_test.go包含两个用例用例startPoshomePosrowCostscolCosts期望输出1[1, 0][2, 3][5, 4, 3][8, 2, 6, 7]182[0, 0][0, 0][5][26]0用例 1 的手算验证与统一公式逐步对照先减起点代价$-rowCosts[1] - colCosts[0] -4 - 8 -12$行区间 $[\min(1,2), \max(1,2)] [1, 2]$$rowCosts[1] rowCosts[2] 4 3 7$累计 $-12 7 -5$列区间 $[\min(0,3), \max(0,3)] [0, 3]$$colCosts[0..3] 8 2 6 7 23$累计 $-5 23 18$ ✓。用例 2 的边界验证起点即终点行区间 $[0,0]$、列区间 $[0,0]$公式先减 $5 26$ 再加回 $5 26$结果恰为 $0$ ✓。这个用例正是“减法-加法”抵消技巧在边界场景下不出错的直接证据。测试通过仓库自研的测试框架运行c_test.go 调用testutil.RunLeetCodeFuncWithExamples(t, minCost, examples, targetCaseNum)该函数实现于 leetcode/testutil/leetcode.go。从源码看其工作机制包括纯文本用例的反射解析parseRawArray/parseRawArg把[1, 0]这样的原始字符串按括号深度、引号状态解析为真实的[]int参数因此测试数据可以以“LeetCode 页面上复制下来的原样”直接书写无需手写字面量可选超时检测isTLE配合DebugTLE变量在独立 goroutine 中执行被测函数支持超时判定targetCaseNum定位机制设为正整数时只跑第 N 个用例通过后自动续跑全部用例设为0如本测试则全量运行。文件头注释// Code generated by copypasta/template/leetcode/generator_test.go表明该测试由仓库模板 copypasta/template/leetcode/generator_test.go 生成这是该模板库“统一脚手架 逐题填空”组织方式的体现双周赛 66 的四道小题分别存放在leetcode/biweekly/66/{a,b,c,d}目录每题一解一测彼此独立。在本地验证的方式只读查看后运行测试即可无需修改仓库内容cd leetcode/biweekly/66/c go test -v由于 go.mod 声明模块为github.com/EndlessCheng/codeforces-goc_test.go中对github.com/EndlessCheng/codeforces-go/leetcode/testutil的导入在本仓库内即可解析无需额外配置。复杂度分析原题解给出的复杂度结论如下时间复杂度$\mathcal{O}(|\textit{start}{\textit{row}} - \textit{home}{\textit{row}}| |\textit{start}{\textit{col}} - \textit{home}{\textit{col}}|)$即只与两个方向上的位移量线性相关与网格总规模 $m \times n$ 无关——这解释了为什么不需要建图、不需要 Dijkstra空间复杂度$\mathcal{O}(1)$。题解特别提示Python 和 JS 版本若把切片改为普通循环即可严格做到 $\mathcal{O}(1)$ 额外空间切片会复制子数组。Go/Java/C/C 的循环或区间求和写法则天然为 $\mathcal{O}(1)$。拓展如果代价中存在负数呢原题解专门讨论了非负约束被打破的情形见 2087.md 的「如果有负数代价呢」一节本题是图论中的最短路问题。在有负数边权的情况下可以用 Bellman-Ford 算法解决。需要注意的是如果有负环则最小代价为 $-\infty$。这一点从算法分类的角度也很有启发性非负代价本题贪心 区间求和$\mathcal{O}(\Delta x \Delta y)$负权无负环需要 Bellman-Ford 等支持负权的单源最短路算法在网格图上为 $\mathcal{O}(V \cdot E)$ 量级存在负环最小代价无下界为 $-\infty$问题退化为“不可解/无有限答案”。这也说明了本题约束条件的价值——它把一个一般最短路问题降维成了一个纯计数/区间求和问题。题单定位与学习路径原题解把本题归入贪心与思维题单的「§5.2 脑筋急转弯」专题并给出了完整的分类题单导航原文为站内/外部链接此处保留其知识体系内容滑动窗口与双指针定长/不定长/单序列/双序列/三指针/分组循环二分算法二分答案/最小化最大值/最大化最小值/第 K 小单调栈基础/矩形面积/贡献法/最小字典序网格图DFS/BFS/综合应用位运算基础/性质/拆位/试填/恒等式/思维图论算法DFS/BFS/拓扑排序/基环树/最短路/最小生成树/网络流动态规划入门/背包/划分/状态机/区间/状压/数位/数据结构优化/树形/博弈/概率期望常用数据结构前缀和/差分/栈/队列/堆/字典树/并查集/树状数组/线段树数学算法数论/组合/概率期望/博弈/计算几何/随机算法贪心与思维基本贪心策略/反悔/区间/字典序/数学/思维/脑筋急转弯/构造链表、树与回溯前后指针/快慢指针/DFS/BFS/直径/LCA字符串KMP/Z 函数/Manacher/字符串哈希/AC 自动机/后缀数组/子序列自动机其中第 6 项「图论算法」覆盖的最短路方向正是本篇“负数代价”拓展所衔接的分支第 10 项「贪心与思维」则是本题的归属。就本仓库而言类似的力扣双周赛题解按leetcode/biweekly/届数/小题的目录结构组织例如同届的 leetcode/biweekly/66/d/2088.md配合根目录 README.md 所列的算法模板索引单调栈、堆、并查集、ST 表、树状数组等形成了“题解 → 模板 → 题单”的完整学习闭环。小结LeetCode 2087 的价值在于示范了“约束条件如何决定算法选型”非负代价这一条保证让网格最短路问题坍缩为两次闭区间求和。实现上ans -rowCosts[x0] - colCosts[y0] ΣrowCosts[min(x0,x1)..max(x0,x1)] ΣcolCosts[min(y0,y1)..max(y0,y1)]这一统一公式同时处理了四个方向与起点即终点的边界情形时间 $\mathcal{O}(|\Delta x| |\Delta y|)$、空间 $\mathcal{O}(1)$。仓库中的 Go 实现 c.go 与测试 c_test.go 提供了可直接go test验证的完整参照配合 testutil 的反射式用例解析与超时检测构成了一套轻量而完整的本地练习-验证闭环。赞分享科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载相关推荐codeforces-go 仓库中的 LeetCode 2178 题解贪心构造偶数拆分的最大值方案codeforces go 仓库中的 LeetCode 2178 题解贪心构造偶数拆分的最大值方案 本篇技术指南以算法竞赛模板库 codeforces go科学计算LeetCode 2239 最接近零的数字绝对值最小化贪心遍历与多语言实现解析codeforces-go 仓库题解LeetCode 2239 最接近零的数字绝对值最小化贪心遍历与多语言实现解析codeforces go 仓库题解 本文围绕算法竞赛模板库 codefor科学计算用最小矩形覆盖点LeetCode 双周赛 128 贪心解法多语言实现与 codeforces-go 源码剖析用最小矩形覆盖点LeetCode 双周赛 128 贪心解法多语言实现与 codeforces go 源码剖析 导读 本文围绕 LeetCode 第 128 场科学计算上一篇webpack-bundle-analyzer中的chunkhash分析优化缓存策略下一篇blendOS路线图解析未来更新计划与社区发展方向终极指南创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考