离散数学1：集合论与序论在计算机的联系

笛卡尔积两个集合笛卡尔积后的结果是元素为有序对的集合。例如A {1, 2} B {x, y}则 A × B {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}B × A {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)}。有序对有序对的性质∀a,b,c,d ((a,b)(c,d)↔ac∧bd)这是唯一性质python中的tuple或者list就是有序对tuple和list允许其中的元素不一定是同类型像“集合的有序可重复版”用代码构建集合时要检查遍历每两个元素是否相同不需要顺序但构建有序组后面会提到不需要遍历每两个元素但需要额外内存保存下标。但C和java里的数组必须要求同类型。其集合论定义有多种主流zfc系统用的是库拉托夫斯基(Kazimierz Kuratowski)的定义(a,b){{a},{a,b}}优点只使用集合没有额外定义也没有循环定义结构简单证明有序对性质的过程简单缺点有序对的秩比元素的秩高2集合论中的秩表示一个集合中根元素被多少层集合括号包裹了的最大数和矩阵的秩不是一回事虽然都是rank。即使在数学里很多英语术语相同但又指向不一样的概念比如纤维和原像向量和矢量等等这在某些集合论系统如新基础 NF中会造成麻烦以下还有其他关于有序对的定义1.库拉托夫斯基定义变体短定义(a,b){a,{a,b}}2.维纳Wiener定义(x,y){{{x},∅},{{y}}}3.冯诺依曼John von Neumann序数定义(x,y) { {∅, x}, {{∅}, y} }......etc.以上定义因为各种原因综合考量而放弃数学系统构建者在用最少的公理构建并解释所有的数学但目前对于有序对的用哪种形式系统更加合适没有明确标准所以非数学工作者最好把有序对看成一个公理初始概念。有序n元组有序n元组(tuple)也简化为有序组或者序组和有序对一样也有多种定义例如有序3元组左嵌套(a,b,c)((a,b),c)右嵌套(a,b,c)(a,(b,c))混合嵌套etc.这些定义看实际用途而编码,依旧建议看作是公理初始概念多个集合笛卡尔积的结果就是元素为有序n元组的集合。序列就是一种有序n元组序列也有有限序列无限序列可变序列之分。数列其实是序列的子集但一些高数教材依旧称呼序列完全等价数列坐标向量和矩阵坐标向量本质上就是特殊的一维的有序n元组有序n元组的i下标对应的值叫做第i分量例如有序3元组(5,6,7)的第0分量是5第1分量是6分量和元素等价分量更强调位置。m×n矩阵就是每个元素都为有序n元组的有序m元组例如m×n矩阵A就可以表示成A((a11​,…,a1n​), (a21​,…,a2n​), …, (am1​,…,amn​))。就是特殊的二维数组。张量如果写代码自动构建一个矩阵不做限制那么可能会产生不是矩阵的结构如A[[1,2],[3]]或者B[ [1,2], [ [3,4],[5,6,7] ] ]如果构建张量后面会提到矩阵是特殊的张量就更加复杂。做限制以前先明确以下概念序组的结构可以画成树结构叶结点就是最底层的元素机器学习里和以上举例的AB两个数组是数字更抽象来讲可能是字符串布尔值函数等等序组的嵌套深度分为最大嵌套深度和最小嵌套深度以序组B为例最大嵌套深度是2最小嵌套深度是3 。如果把这个序组转化为树结构那么树结构的深度1就是最大嵌套深度毕竟树结构的深度是按照边来计算的而不是结点。最小嵌套深度就是叶结点最小的深度。因此可以对矩阵进行限制1.同一阶的数组长度要一致。2. 同一阶的数组的最大嵌套深度相等。3.只能是二阶数组。第三个限制是针对矩阵的如果删除这个限制这个以推广到新的概念张量。0阶张量就是标量1阶张量就是向量2阶张量就是矩阵。tensorflow中shape函数就可以知道一个张量的结构shape(2,3,4)表示一个2×3×4的张量矩阵n×m矩阵可以看作一个m输入n输出的函数矩阵的乘法就是两个函数的复合。矩阵乘列向量可以看作向量作为1阶张量输入到矩阵这个函数中输出结果也会是向量即序组梯度二元函数的输出只能对其中一个输入求导也就是偏导。偏导可以看作在x轴或者y轴上放置一个垂直于xy平面的平面对截取的函数图像求导。方向导函数不限制位置在xy平面上的任意直线上竖直放置一个平面对截取的函数图像求导。某个点在某个方向上的最大的方向导数就是梯度因此梯度是一种向量。